1939年静岡県清水市生まれ。1966年、別役実、斉藤郁子、蔦森皓祐らとともに早稲田小劇場（現・SCOT）を創立。1976年富山県利賀村に本拠地を移し、1982年より18年間、世界演劇祭「利賀フェスティバル」を毎年開催。世界各地での上演活動や共同作業など国際的に活躍するとともに、俳優訓練方法スズキ・メソッドは世界各国で学ばれている。モスクワ芸術座やニューヨークのジュリアード音楽院などの劇団、大学で鈴木本人も教えている。

1974年、岩波ホール芸術監督、1989年、水戸芸術館芸術総監督を経て、1995年に静岡県舞台芸術センター芸術総監督に就任。2000年に演劇人の全国組織・舞台芸術財団演劇人会議理事長に就任。シアター・オリンピックス国際委員。

主な演出作品に、『劇的なるものをめぐって』、『トロイアの女』、『ディオニュソス』、『リア王』、『シラノ・ド・ベルジュラック』、『オイディプス王』、『エレクトラ』、音楽劇『カチカチ山』、『ザ・チェーホフ』、『別冊谷崎潤一郎』、『幽霊』などがある。2004年、モスクワ芸術座に招かれ『リア王』を演出。この作品は、同劇場のレパートリーとして定期的に上演されている。

著書に「 内角の和Ⅰ ・ Ⅱ 」（而立書房）、「劇的なるものをめぐって」（工作舎）、 「劇的言語」（白水社）、「騙りの地平」（白水社）、「越境する力」（パルコ出版）、「THE WAY OF ACTING」(TCG)、「演劇とは何か」（岩波書店）、「演出家の発想」（太田出版）、「 劇的言語・増補版」（朝日新聞社） などがある。

なお、ケンブリッジ大学が刊行している20世紀を主導した演出家・劇作家21人のシリーズに、スタニスラフスキー(露)、ブレヒト(独)、ハロルド・プリンス(米)、ピーター・ブルック(英)、ムヌーシュキン(仏)などと共にアジア人としてただ一人選ばれ、すでに"The Theatre of Suzuki Tadashi"として出版されている。

情報誌「imidas2001」（集英社）の「20世紀を創った人々550」では、演劇の分野で、 小山内薫（作家・演出家、築地小劇場創立者）、小林一三（阪急・東宝グループの創立者）、 大谷竹次郎（松竹株式会社の創立者）、杉村春子（女優・文学座）、浅利慶太（演出家・劇団四季代表）らと 並んで6人のうちの1人に数えられ、「理論・実践・教育・組織運営における新しい演劇人の在り方を示す代表的な 存在である」と評されている。